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2010/7 塾ジャーナルより一部抜粋

数学を学んで「知の財産」を貯めよう!

 

財団法人日本数学検定協会  松本 精一

 
 

 今回は,図形の問題を中心に見ていきましょう。

 5級は、回転体の問題です。回転体の問題は、毎回正答率が低くなります。1つの直線を軸にして図形を回転させるということ、それ自体がイメージできない生徒がいます。空間での回転であるにもかかわらず、平面上での回転をイメージしてしまう生徒が多いようです。
 現在は、Web上でも回転体をシミュレーションできるサイトがありますので、PCを活用し回転体をイメージできるようにしておくとよいでしょう。しかし、試験中はPCは使えませんので、回転の軸に関して対称な図形を書き、頂点を楕円で結ぶという方法で見取り図をかけるようにしておかなければなりません。

 回転体は、円柱・円錐(円錐台)や球、あるいはそれらを組み合わせた立体が多いので、このことを考慮に入れて、見取り図が書ければ、体積・表面積も求めやすいでしょう。

 4級は、平行四辺形の面積の問題です。(2)については、△ABOと△CDOは合同なので、面積は等しい。次に、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わることを用います。△ABOと△ADOはそれぞれBO、DOを底辺とみると底辺の長さが等しく、高さが共通なので面積は等しい。△ABOと△BCOについても同様に面積は等しくなります。
(3)は、△ABDの内角の和から、角ADBの大きさを求め、角ADBと角DBCが平行線の錯角で等しいことを用いれば簡単です。対角線ACが引かれているために、△ABDが見えにくくなったかもしれません。図形の問題では補助線を引くことも重要ですが、単純化するために余分な線をないものとして考えることも必要です。
平行四辺形の性質は様々ありますが、それらを単に覚えるだけでなく、どの場面でどの性質を使ったらよいかを明確に把握することが大切です。

 3級は三平方の定理の問題です。(1)のACは、正方形ABCDの対角線であり、直角二等辺三角形の斜辺にあたります。他の回で、平面上にある1辺4cmの正方形の対角線の長さを求める問題を出題しましたが、正答率は57.7%でした。この問題も単純に正方形の対角線の長さを求める問題ではなく、複合的な問題の一部として出題されました。平面・空間とは関係なく複合的な図形の問題を苦手としていることが分かります。(2)でOHの長さを求めるために、△OAH等の直角三角形に着目しますが、立体を切断した場合を考えて、その中にある直角三角形を見つけるという作業が難しいようです。OHが分かれば、四角錐の体積を求める公式で体積が計算できます。

 このように、立体も部分に分けて、平面で囲まれた形と考えれば、平面上の図形の性質や公式が活用できますが、このような考え方が身に付いていない受検者が多いようです。平面上に表された立体のもとの形を読み取ったり、逆に立体を平面上に表したりすることは、社会人になったときに必要になる可能性が高いので、学生のうちに是非身に付けておいてもらいたい技能です。

 

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